Courbes de Bézier


 

Sommaire

  1 – Construction géométrique d’une courbe de Bézier

1.1 – Courbe de Bézier à 4 pôles

1.2 – Traduction analytique

1.3 – Courbe de Bézier de 2 à 5 pôles

  2 – Propriétés

2.1 – Points de passage et tangence

2.2 – Hodographe

2.3 – Subdivision

  3 – Courbes définies par morceaux

  4Bibliographie

 



Courbes de Bézier


 

Les courbes que l’on nomme de Bézier, ont été développées dans le domaine de la CAO, indépendamment par Paul de Casteljau à partir de 1959 pour la société Citroën et par Pierre Bézier à partir de 1962 pour Renault (système UNISURF).

Les courbes de Bézier sont construites géométriquement par un processus itératif à partir d’un polygone descripteur reliant n points (P1, P2,…Pn) appelés pôles. Le processus (algorithme de Casteljau) consiste à diviser chaque segment du polygone dans un rapport constant t (t compris entre 0 et 1 pour que le point résultant soit sur le segment). On obtient ainsi un nouveau polygone en reliant les n-1 points résultants. L’opération est répétée sur le nouveau polygone jusqu’à obtenir un unique segment et un unique point P (t) appelé point courant. La courbe de Bézier est l’ensemble des points P (t) pour t compris entre 0 et 1.

 

Cette méthode de construction peut se faire sur papier point par point, mais elle se révèle très laborieuse. En revanche son application informatique a connu un succès tel qu’il est rare de trouver un logiciel de dessin les utilisant pas.

 

  1 – Construction géométrique d’une courbe de Bézier

1.1 – Courbe de Bézier à 4 pôles

Courbe de Bézier définie par 4 pôles.

Les pôles P1, P2, P3 et P4 ainsi que le curseur du paramètre t

 peuvent être déplacés sur la figure.


 

On se propose de construire une courbe de Bézier définie par un polynôme descripteur à 4 pôles : P1, P2, P3 et P4.

On choisit un paramètre t compris entre 0 et 1. On construit les points :

P12 tel que P1P12= t . P1P2. (P12 est donc un point du segment P1P2).

P23 tel que P2P23= t . P2P3 et

P34 est tel que P3P34= t . P3P4.

On réitère ce processus avec les points P12, P23 et P34 pour définir les points :

P13 tel que P12P13= t . P12P23 et

P24 tel que P23P24= t . P23P34.

 

Enfin on applique à nouveau cette opération avec les points P13 et P24 on définit alors l’ultime point :

P14 = P(t) tel que P13P14= t . P13P14.

 

Le point courant P(t) dépendant du paramètre t, est construit sur la figure ci-dessus pour toutes les valeurs comprises entre 0 et 1, donnant ainsi la courbe de Bézier.

1.2 – Traduction analytique

On peut traduire analytiquement l’algorithme en fonction des coordonnées des points.

P12 a été défini par la relation vectorielle P1P12 = t . P1P2. En introduisant le point d’origine du repère O, on a alors :

P1O + OP12 = t . P1O + t. OP2 que l’on simplifie ainsi :

OP12 = (1-t) . OP1 + t. OP2

Remarque : cette relation reste vraie pour tout point O’ : O’P12 = (1-t) . O’P1 + t. O’P2, car (1-t)+t=1, ce qui traduit le fait que P12 ne dépend pas de l’origine du repère.

Les coordonnées du vecteur OP1 étant égales à celles du point P1, on peut assimiler P1 à ses coordonnées (x1, y1, z1) afin d’éviter la notation vectorielle et écrire la dernière relation sous la forme :

P12 = (1-t) P1 + t P2 et équivalente au système :

{x12 = (1-t) x1 + t.x2

{y12 = (1-t) y1 + t.y2

{x12 = (1-t) z1 + t.z2

 

1ère itération :

P12 = (1-t) P1 + t P2

P23 = (1-t) P2 + t P3

P34 = (1-t) P3 + t P4

2ème itération :

P13 = (1-t) P12 + t P23

P24 = (1-t) P23 + t P34

3ème itération :

P14 = (1-t) P13 + t P24

 

Par combinaison de ces équations on peut déduire l’expression de P(t) en fonction des pôles :

 

P(t) = (1-t)3 P1+3t(1-t)2 P2+3t2 (1-t) P3+t3 P4

 

On remarque que l’on obtient une expression polynomiale de degré 3 en t.

 

Plus généralement une courbe de Bézier à n+1 pôles (P0 à Pn) est de degré n et son expression est :

 

P(t) = Cn0 (1-t)n P0+ Cn1 t(1-t)n-1 P1+ … +Cni ti (1-t) n-i Pi+ …+ Cnn  tn Pn

 

Rappel: Cnp = n!/(p!(n-p)!)

 

En introduisant les polynômes de Bernstein de degré n, définis pour tout i compris entre 0 et n par :

Bin (t) = Cni ti (1-t) n-i , on a l’écriture de suivante :

 

De plus on a les  propriétés :

ce qui traduit le fait que P(t) est indépendant de l’origine, et,

Bin (t) = (1-t) Bin-1 (t)+t Bi-1n-1 (t)

 

1.3 – Courbe de Bézier de 2 à 5 pôles

Sur la figure suivante sont représentées des courbes de Bézier définies par 2 pôles (P1,P2)  3 pôles (P1,P2,P3) , 4 pôles (P1,P2,P3,P4) et 5 pôles (P1,…,P5).

La courbe définie par 2 pôles est du 1er degré, elle se réduit à un segment de droite liant P1 à P2.

La courbe définie par 3 pôles est du 2ème degré, donc une parabole.

Les courbes définies par 4 et 5 pôles sont respectivement du 3ème et 4ème degré.

 

Courbes de Bézier définies par 2 à 5 pôles.

Les pôles P1, P2, P3 ,P4 et P5 ainsi que le curseur du paramètre t

 peuvent être déplacés sur la figure.

 

  2 – Propriétés

2.1 – Points de passage et tangence

La portion de courbe de Bézier tracée a les propriétés suivantes :

- elle passe par les points extrêmes P1 et P4. Elle est tangente en P1 à la droite (P1P2) et en P4 à la droite (P3P4) autrement dit  :

 

  La courbe passe par les extrémités du polygone descripteur et est tangente aux côtés extrêmes en ces points.

 

- elle ne passe pas par les points P2 et P3 mais on connaît la zone dans laquelle elle est circonscrite :

 

  La courbe est incluse dans l’enveloppe convexe du descripteur.

 

- la tangente à la courbe en P(t) est la droite (P13P24), cette tangence se retrouve par le tracé de la courbe des vitesses ou hodographe (rappel : la vitesse est toujours tangente à la trajectoire).

2.2 – Hodographe

- Construction de l’hodographe

La courbe des vitesses ou hodographe se trace ainsi : à partir d’une même origine O on trace les côtés successifs du descripteur. Les extrémités de ces rayons vecteurs forment le descripteur de l’hodographe. Soit T le point de paramètre t de cette courbe. Le vecteur OT est la tangente au point P(t) de la courbe de Bézier.

Courbe de Bézier(à gauche) et son hodographe (à droite).

 

- Justification de la construction : Cette construction se justifie par le calcul de la dérivée de P(t) par rapport à t qui n’est autre que la vitesse V(t) = P’ (t). Or on peut prouver que :

 

 

Or cette expression correspond, au facteur n près, à l’hodographe construit à partir des points P i+1 - Pi , c’est-à-dire les extrémités des rayons vecteurs issus des segments du polygone descripteur initial.

Il s’en suit que les dérivées successives se construisent par la construction d’un nouvel hodographe à partir du précédent.

 

- Point d’inflexion

 

Lorsque la tangente à l’hodographe passe par l’origine, la courbe présente un point d’inflexion.

(correspond au point où P’’(t), la dérivée seconde de P(t), s’annule.)

 

Point d’inflexion.

 

- Point de rebroussement

 

Lorsque l’hodographe passe par l’origine, la vitesse paramétrique s’annule : il y a un point de rebroussement.

 

Point de rebroussement.

 

- Construction de la tangente à une courbe de Bézier parallèlement à une direction donnée

 

Sur la figure ci-dessous une courbe de Bézier du deuxième degré est tracée. Il s’agit donc d’une parabole dont l’hodographe des vitesses est du premier degré soit un segment de droite (la dérivation fait diminuer le degré de 1). A partir du pôle de l’hodographe on trace une droite dans la direction imposée à la tangente ce qui donne directement le paramètre correspondant à cette direction. Il ne reste alors plus qu’à tracer le point correspondant à ce paramètre sur la courbe de Bézier.

Tangente à une courbe de Bézier parallèlement à une direction donnée.

La direction de la tangente est modifiable sur le cercle (en haut à gauche).

 

2.3 – Subdivision

Reprenons la courbe de Bézier définie par un polynôme descripteur à 4 pôles (P1, P2, P3 et P4). La portion de courbe située entre P1 et le point courant P(t)=P14 est elle même une courbe de Bézier définie par le descripteur à 4 pôles (P1, P12, P13 et P14). Il en est de même pour l’arc P14P4 dont le descripteur est (P14, P24,P34,P4). Ainsi la courbe peut être subdivisée en deux parties qui lui sont identiques. Le degré reste inchangé. Sur chacune le paramètre varie de 0 à 1.

Subdivision d’une courbe de Bézier à 4 pôles.

La partie de la courbe entre P1 et P(t) est une courbe de Bézier de descripteur P1, P12, P13 et P14=P(t) de point courant Q(r)(r variant de 0 à 1).

 


  3 – Courbes définies par morceaux

Au lieu d’augmenter le degré de la courbe pour passer par un plus grand nombre de points, il est plus commode de définir la courbe par morceaux. Il faut alors s’intéresser aux points de raccordement et en assurer la continuité à l’ordre choisi. L’ordre de continuité correspond à l’identité des dérivées successives (à droite et à gauche) au point considéré.

Ainsi, si l’on considère deux courbes P(t) et Q(s) (chacune des courbes a son propre paramétrage en t et s) on dit que l’on a continuité d’ordre 0 en M si les morceaux sont jointifs (P(tM)=Q(sM)=M). L’ordre 1 indique l’identité des dérivées (P’(tM)=Q’(sM)) et assure ainsi la même tangente au point de raccordement. L’ordre 2 indique l’identité des dérivées secondes et induit l’identité des courbures (P’’(tM)=Q’’(sM)). Pour des courbes polynomiales de degré n comme les courbes de Bézier, il n’est possible d’assurer la continuité qu’à l’ordre n-1 au maximum.

De plus, si l’on mène les calculs pour des courbes de Bézier du troisième degré (4 pôles), on peut prouver que la continuité à l’ordre 2 au point C (figure ci-dessous) fait apparaître les conditions suivantes :

a) C-Cb=Cd-C (tangence)

b) Soit C0 le symétrique de Bc par rapport à Cb. C0 doit aussi être le symétrique de Dc par rapport à Cd. (courbure)

 

Courbe définie par 2 morceaux : 2 courbes de Bézier de descripteurs (B,Bc,Cd,C) et (C,Cd,Dc,D).

La continuité en C est d’ordre 2 : même point de passage, même tangente et même courbure.

Les points B, Bc, Cb, C et D peuvent être déplacés sur cette figure dynamique.

 

 

On vérifie en construisant l’hodographe de P’(t) et de P’’(t) pour chacun des morceaux de courbe que les vecteurs correspondant sont bien identiques au point de jonction. Sur la figure ci-dessous, les vecteurs sont représentés en fonction de t. Afin de simplifier la représentation sur la figure ci-dessous, le paramétrage de la courbe de gauche va de 0 (en B) à 1 (en C), et pour le morceau de droite de 0 (en D) à 1 (en C), ce qui permet d’avoir le même paramètre t=1 pour le point C. Ainsi en amenant le paramètre t à la valeur 1, on observe l’identité des vecteurs.

 

Hodographes de P’(t) et P’’(t) pour deux morceaux de courbes. En amenant t à la valeur 1, on observe l’identité des vecteurs dérivée et dérivée seconde en C.

 

 

  4 – Bibliographie

 

Pierre Bézier, Courbes et surfaces, Hermes, 1987. 237 p.

 

Paul de Casteljau, Formes à pôles, Hermes, 1985. 115 p.

 

Gerald Farin, NURBS, From Projective Geometry to Practical Use, A K Peters,1999.

 

W. Böhm, G. Farin, J. Kahmann, A survey of curve and surface methods in CAGD, Computer Aided Geometric Design 1, Elsevier Science Publishers B. V; North-Holland, 1984, 60p.